Fonctions convexes/Définition et premières propriétés — Wikiversité (2024)

On dit qu'une application est

• convexe sur si:

  ;

• strictement convexe sur si, pour et , on a même: .

Soit avec . Un réel vérifie si, et seulement si, il s'écrit sous la forme:

avec .

Tout réel s'écrit sous la forme pour un unique , car

, avec .

Cette unique solution vérifie:

Soient le point de coordonnées et le point de coordonnées .

Un point appartient au segment si et seulement si ses coordonnées sont de la forme:

, avec .

Notons les coordonnées de et celles de . Les points du segment sont, par définition, tous les barycentres des deux points et , pondérés respectivement par deux coefficients de même signe tels que , c'est-à-dire les points de coordonnées , avec .

Si une application est convexe alors, pour tous dans :

et par conséquent,

.

Réciproquement, si l'une des trois inégalités est vérifiée pour tous dans alors est convexe.

Soit une application . Pour tout , on définit l’application:

.

Alors, les cinq propriétés suivantes sont équivalentes:

1. est convexe sur ;
2. pour tout , est croissante sur ;
3. pour tout , est croissante sur ;
4. pour tout , les valeurs de sur sont inférieures à celles sur ;
5. pour tout , est croissante sur .

Les propriétés 2, 3 et 4 sont respectivement équivalentes aux trois inégalités des pentes, donc chacune est équivalente à la convexité de . Par conséquent, la cinquième l'est aussi.

Soit une fonction convexe.

1. Si alors ou bien est décroissante, ou bien .
2. Si alors ou bien est croissante, ou bien .
3. Si et si est majorée, alors elle est constante.

1. Si et n'est pas décroissante alors, d'après la propriété 4, il existe tel que sur , est strictement croissante, en particulier:

   .

   Or d'après la propriété 3, pour tout , , c'est-à-dire , ou encore

   .

   Comme , on en déduit: .
2. se démontre comme 1., ou s'en déduit par le changement de variable .
3. est une conséquence immédiate de 1. et 2.

D'après la propriété 3, pour tout , la fonction «pente» est croissante.

Elle admet donc (d'après le théorème de la limite monotone) une limite à gauche et à droite en finies. Cela montre que est dérivable à gauche et à droite, donc continue.

Soit une fonction convexe strictement monotone sur un intervalle ouvert . Sur l'intervalle , est

• convexe si est décroissante;
• concave est croissante.

Le second point se déduit du premier en remplaçant par l'application . Supposons donc désormais décroissante (strictement).

D’après la propriété 6, f, étant convexe sur l’intervalle ouvert I, sera continue sur I. Comme, de plus, f est strictement décroissante sur I, on en déduit que f est bijective sur I. Par conséquent f^-1 existe. Soit a, b ∈ f(I), posons c = f^-1(a) et d = f^-1(b).

Comme f est convexe, on a:

f étant décroissante, f^–1 sera aussi décroissante et par conséquent, on en déduit:

c’est-à-dire:

Ce qui montre que f^-1 est convexe.

Soit une fonction convexe. Pour toute fonction ,

• si est convexe et croissante alors la composée est convexe;
• si est concave et décroissante alors est concave.

Le second point se ramène au premier en remplaçant par . Supposons donc désormais convexe et croissante.

Soient et . Par convexité de ,

donc, par croissance de ,

et en appliquant la convexité de au second membre, on obtient:

.

Soient (convexe) et (la fonction exponentielle, croissante et convexe). D'après la propriété précédente, est convexe. Or .

Soit une fonction convexe. Pour tout(x₁, x₂, … , x_n) ∈ Iⁿ et pour toute famille (λ₁, λ₂, … , λ_n) ∈ (ℝ₊)ⁿ telle que λ₁ + λ₂ + … + λ_n = 1, on a:

.

Nous raisonnerons par récurrence sur n.

La propriété est triviale pour n = 1 et, plus généralement, lorsque l'un des λ_k vaut 1 (les autres étant alors nuls).

Supposons-la vraie pour n.

Soit (λ₁, λ₂,… λ_n+1) ∈ [0, 1[ⁿ⁺¹ tel que:

et soit (x₁, x₂, … , x_n+1) ∈ Iⁿ⁺¹.

Posons λ = 1 – λ_n+1 (strictement positif), puis

.

L’inégalité de convexité nous permet d’écrire:

.

Par hypothèse de récurrence, on a:

Par conséquent:

et la propriété est vraie pour n + 1.

Soient une fonction convexe et un point intérieur à l'intervalle . Alors, il existe tels que

et .

Considérons la fonction croissante de la propriété 3 ci-dessus et un réel tel que . Pour tout , on a , avec égalité si . La propriété est donc satisfaite en prenant .

Soit une fonction continue. Pour que soit convexe sur , il suffit qu'elle soit «faiblement convexe», c'est-à-dire que

.

Cette démonstration, extraite de Constantin Nicolescu et Lars-Erik Persson, Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach, Springer, 2006 [lire en ligne], p. 10, utilise le théorème de Weierstrass (ou «des bornes»). Pour une autre démonstration, voir le § «Possibilité de n'utiliser que des milieux» de l'article de Wikipédia sur les fonctions convexes.

Raisonnons par contraposée, c'est-à-dire supposons que (continue sur ) n'est pas convexe et montrons qu'alors elle n'est même pas «faiblement convexe».

Par hypothèse, il existe un intervalle tel que le graphe de la restriction de à ce sous-intervalle ne soit pas entièrement en-dessous de la corde qui joint à , c'est-à-dire tel que la fonction (continue)

vérifie:

.

Par continuité de , l'ensemble des points de en lesquels atteint ce maximum possède un plus petit élément, .

Puisque et , on a . Il existe donc tel que et . Par définition de et ,

, et ,

si bien que

.

Par conséquent, n'est pas «faiblement convexe». On en déduit facilement que non plus.

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